1- إذا كان $\ar{x^2-y^2=54}$ وكان $\ar{(x+y)=9}$ فإن قيمة $\ar{2x-2y=12}$ شرح السؤال حلل المقدار الأول كفرق بين مربعين، واستخدم القيمة المعطاة لإيجاد $\ar{(x-y)}$، ثم ضاعف الناتج. صح خطأ الإجابة الصحيحة: صحالمفهوم: متطابقة الفرق بين مربعين $\ar{x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)}$ تستخدم لإيجاد أحد القوسين بمعلومية الآخر.خطوات الحل: نعلم أن $\ar{x^2-y^2 = (x-y)(x+y)}$. بالتعويض بالمعطيات: $\ar{54 = (x-y)(9)}$. بقسمة الطرفين على $\ar{9}$ ينتج $\ar{x-y = 6}$. المقدار المطلوب هو $\ar{2x-2y}$، وبأخذ $\ar{2}$ عامل مشترك يصبح $\ar{2(x-y)}$. بالتعويض: $\ar{2(6) = 12}$. العبارة صحيحة.أخطاء شائعة: التوقف عند استنتاج أن $\ar{x-y = 6}$ والحكم على العبارة بالخطأ لعدم ملاحظة أن المطلوب هو ضعف المقدار.💡 إضاءة (اعرف أكثر): لا حاجة لحل المعادلتين آنياً لإيجاد قيمتي $\ar{x}$ و $\ar{y}$ بشكل منفصل، فالمعالجة الجبرية للمقادير ككتلة واحدة توفر الكثير من الجهد.(الفصل 1: إيجاد المفكوك والتحليل الجبري، الدرس 1-5-3: تحليل الفرق بين مربعين، ص 29)
2- إذا كان $\ar{(y-\frac{3}{2}x)}$ أحد عوامل المقدار $\ar{y^3 - \frac{27}{8}x^3}$ فإن العامل الآخر هو $\ar{(y^2 + \frac{3}{2}xy + \frac{9}{4}x^2)}$ شرح السؤال المقدار يمثل فرقاً بين مكعبين، تذكر القاعدة الخاصة بتحليله إلى قوسين (قوس صغير وقوس كبير). صح خطأ الإجابة الصحيحة: صحالمفهوم: تحليل فرق المكعبين يتبع القاعدة: $\ar{A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)}$.خطوات الحل: نأخذ الجذر التكعيبي للحدين لتكوين القوس الصغير: $\ar{(y - \frac{3}{2}x)}$. لتكوين القوس الكبير: نربع الأول $\ar{y^2}$، نعكس الإشارة ونضرب الأول في الثاني $\ar{+\frac{3}{2}xy}$، نربع الثاني $\ar{+\frac{9}{4}x^2}$. القوس الكبير يطابق تماماً المقدار المكتوب في السؤال، فالعبارة صحيحة.أخطاء شائعة: وضع إشارة سالبة للحد الأوسط في القوس الكبير ($\ar{-\frac{3}{2}xy}$)، أو ضرب الحد الأوسط في $\ar{2}$ خلطاً مع المربع الكامل.💡 إضاءة (اعرف أكثر): القوس الكبير الناتج من تحليل مجموع أو فرق المكعبين هو مقدار "أولي" لا يمكن تحليله لمقادير حقيقية أبسط منه.(الفصل 1: إيجاد المفكوك والتحليل الجبري، الدرس 1-5-4: تحليل الفرق بين المكعبين، ص 31)
3- مفكوك $\ar{(3x-5)(9x^2+15x+25) = \dots}$ شرح السؤال تفحص شكل الأقواس؛ قوس صغير يحتوي فرقاً وقوس كبير يحتوي مربعات الحدود. هذا يشير إلى قاعدة مفكوك معروفة. $\ar{9x^2+75}$ $\ar{27x^3+125}$ $\ar{27x^3+25}$ $\ar{27x^3-125}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{27x^3-125}$المفهوم: القوسان يمثلان الصورة التحليلية لقاعدة "الفرق بين مكعبين" $\ar{A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)}$.خطوات الحل: للتحقق، نلاحظ أن الحد الأول في القوس الصغير $\ar{3x}$ مربعه $\ar{9x^2}$، والحد الثاني $\ar{5}$ مربعه $\ar{25}$، وحاصل ضربهما عكس الإشارة هو $\ar{+15x}$. بما أن الشروط متحققة، فإن المفكوك هو مكعب الحد الأول ناقص مكعب الحد الثاني. $\ar{(3x)^3 = 27x^3}$، و $\ar{5^3 = 125}$. إذن الناتج $\ar{27x^3 - 125}$.الحل بالاستبعاد: الإشارة في القوس الصغير سالبة، لذا الناتج النهائي يجب أن يكون فرقاً (طرحاً)، مما يستبعد الخيارات التي تجمع الحدود (b و c). والحد الأول مكعب $\ar{3x}$ هو $\ar{27x^3}$، فيُستبعد الخيار (a) الذي يحتوي على $\ar{9x^2}$.💡 إضاءة (اعرف أكثر): يمكنك الحل بالطريقة التقليدية (التوزيع المطول) بضرب القوسين، وستجد أن جميع الحدود الوسطى تُحذف مع نظائرها الجمعية ليبقى الحدان الأول والأخير فقط.(الفصل 1: التحليل الجبري، الدرس 1-5-4: تحليل الفرق بين المكعبين، ص 31)
4- عوامل المقدار $\ar{0.027a^3-y^0}$ هي $\dots$ شرح السؤال تذكر أن أي متغير مرفوع للأس صفر يساوي 1. المقدار يمثل فرقاً بين مكعبين، فكيف تحلله؟ $\ar{(0.3a+1)(0.3a-1)}$ $\ar{(0.3a-1)(0.09a^2+0.3a+1)}$ $\ar{(0.3a+1)(0.06a^2+0.3a-1)}$ $\ar{(0.3-a)(0.6a)}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{(0.3a-1)(0.09a^2+0.3a+1)}$المفهوم: تحليل الفرق بين مكعبين، وقاعدة الأس الصفري $\ar{y^0 = 1}$.خطوات الحل: المقدار $\ar{0.027a^3 - y^0}$ يساوي $\ar{0.027a^3 - 1}$. هذا فرق بين مكعبين. الجذر التكعيبي لـ $\ar{0.027}$ هو $\ar{0.3}$. القوس الصغير: $\ar{(0.3a - 1)}$. القوس الكبير (نربع الأول، نعكس الإشارة ونضرب، نربع الثاني): $\ar{(0.3a)^2 + 0.3a(1) + 1^2 = 0.09a^2 + 0.3a + 1}$.الحل بالاستبعاد: القوس الصغير يجب أن يحمل نفس إشارة المقدار الأساسي (سالب)، مما يستبعد الخيارات الموجبة. والقوس الكبير يحمل إشارة موجبة للحد الأوسط، مما يؤكد صحة الخيار (b).💡 إضاءة (اعرف أكثر): الأرقام العشرية مثل $\ar{0.027}$ و $\ar{0.008}$ هي مكعبات لأرقام عشرية بسيطة كـ $\ar{0.3}$ و $\ar{0.2}$، وتتكرر كثيراً كخدعة في الامتحانات.(الفصل 1: التحليل الجبري، الدرس 1-5-4: تحليل الفرق بين المكعبين، ص 31)
